фл.семафором навигация
исполнить цепочку-на главную в кубрик-на 1 стр.
  • главная
  • астрономия
  • гидрометеорология
  • имена на карте
  • судомоделизм
  • навигация
  • устройство НК
  • памятники
  • морпесни
  • морпрактика
  • протокол
  • сокровищница
  • флаги
  • семафор
  • традиции
  • морвузы
  • мороружие
  • словарик
  • моравиация
  • кают-компания

  •  

    Учебник по навигации

     


    Глава 4

    ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ПРОЕКЦИИ, ПРИМЕНЯЕМЫЕ ДЛЯ ПОСТРОЕНИЯ МОРСКИХ НАВИГАЦИОННЫХ КАРТ

     



    § 28. Локсодромия

     



           Траектория корабля, идущего неизменным курсом, представляет собой на Земной поверхности линию двоякой кривизны, пересекающую все меридианы под одним и тем же углом. Такая кривая называется локсодромией, что в переводе с греческого означает «косой бег» (рисунок). Локсодромия на поверхности Земли спиралеобразно приближается к полюсу, но никогда его не достигает.


    Локсодромия
     


         Для вывода уравнения локсодромии рассмотрим элементарный треугольник АВF на земном эллипсоиде, образованный отрезками меридиана АF, параллели FB и локсодромии AF, составляющей с меридианами одинаковые углы К. По малости сторон треугольник АВF можно принять за плоский и тогда

    tg K = rΔλ / MΔφ = NcosφΔλ / MΔφ.

         Подставив в полученную формулу значения M и N, из формул (6) и (7), получим

    tg K = {a(1 - e²sin²φ)3/2cosφΔλ / (1 - e²sin²φ)½ * a(1 - e²)Δφ} = {(1 - e²sin²) / (1 - e²)} * cos φ (Δλ / Δφ.

         Переходя от элементарно малых величин Δφ и Δλ к их дифференциалам, последнее выражение перепишем в виде

    dλ = tg K {(1 - e²) / (1 - e²sin²φ)} * (dφ / cos φ).

         Заменив в числителе 1 - e² на 1 - e²(sin² + cos²φ), получим

    dλ = tg K [ (1 - e²sin²φ) / (1 - e²sin²φ - e * { (ecos²φ) / (1 - e²sin²φ)} ] * (dφ / cos φ,

         откуда

    dλ = tg K { (dφ / cos φ) - e * { (ecos φ dφ) / (1 - e²sin²φ) }.

         Интегрирование последнего выражения в пределах от A (φ1, λ1) до B (φ2, λ2) дает

    λ2 - λ1 = {tg K ∫φ2φ1 dφ / cos φ} - e * tg K ∫φ2φ1 cos φ dφ / (1 - e²sin²φ

    Локсодромия
     

         Произведя необходимые преобразования подынтегрального ∫φ2φ1 cos φ dφ / (1 - e²sin²φ) выражения, как показано в предыдущем параграфе, получим уравнение локсодромии АВ на карте проекции Меркатора с учетом сжатия Земли

    λ2 - λ1 = tg K [ ln tg (45° + φ2) - ln tg (45° + φ1 / 2) ] - e tg K [ln tg (45° + ψ2 / 2) - ln tg (45° + ψ1) ,]
         окончательный вид которого будет

    λ2 - λ1 = tg K [ ln tg (45° + φ2 / 2){(1 - esin φ2) / (1 + e sin φ2)e/2 - ln tg (45° + φ1 / 2) * { ( - esin φ1 / (1 + e sin φ1)e/2]

         где φ1, λ1, φ2, λ2 — координаты точек, через которые проходит локсодромия.

         Без учета сжатия Земли уравнение локсодромии имеет вид

    λ2 - λ1 = tg K [ ln tg (45° + φ2 / 2) - ln tg (45° + φ1 / 2) ] (88)

         Выражения, стоящие в квадратных скобках уравнений (87) и (88), представляют собой разности меридиональных частей: D2 —для параллели с широтой φ2 и D1 — для параллели с широтой φ1.
    Поэтому выражения (87) и (88) могут быть представлены в виде


    λ2 - λ1 = tg K (D2 - D1). (89)
     


         Последнее уравнение показывает, что локсодромия на проекции Меркатора изображается прямой линией. Иначе и быть не может, так как систему параллельных между собой прямых (меридианов) под одним углом пересекает только прямая линия. Приняв одну из точек, через которые проходит локсодромия, на экваторе, т. е. считая φ1 = 0 и λ1 = λo, а координаты произвольной точки В текущими, т.е. φ2 = φ и λ2 = λ, перепишем уравнение локсодромии в следующем виде (формулы 90):

    с учетом сжатия Земли:

    λ = tg K [ ln tg (45° + φ / 2) * { (1 - e sin φ) / (1 + e sin φ) }e/2} ] + λo


    без учета сжатия Земли:

    λ = tg K (45° + φ / 2) + λo


         Выведенные уравнения позволяют по известным курсу К, долготе точки пересечения экватора λо и одной из текущих координат локсодромии вычислить вторую координату. Исследуем полученные уравнения с целью выявления свойств локсодромии.

    1. Положив в формуле (87) или (88) K = 0° или K = 180°, найдем, что λ2 - λ1 = 0 или λ2 = λ1, т. е. λ = const. В этом случае локсодромия совпадает с меридианом и проходит через точки обоих полюсов.

    2. При K = 90° или K = 270° tg K = ∞. Но так как разность долгот точек локсодромии λ2 - λ1 величина конечная, то один из членов формулы (87) или (88) дол-жен быть равен нулю, т. е. ln tg (45° + φ2 / 2) - ln tg (45° + φ1 / 2 ) = 0,
    следовательно,
    φ2 = φ1, то есть φ = const.

         Локсодромия в этих случаях совмещается с параллелью или с экватором (при φ = 0°).

    3. Уравнение (90) приведем к такому виду:
    tg (45° + φ / 2) = e(λ - λo)ctg K                           (91)

         Полученное уравнение показывает, что каждому значению широты
    φ соответствует только одно значение долготы λ, т. е. локсодромия пересекает каждую параллель только один раз. Придавая долготе значения λ, λ + 2π, λ + 4π, λ + 6π и т. д., будем получать каждый раз все новые возрастающие значения широты. Это означает, что локсодромия пересекает каждый меридиан бесчисленное множество раз, стремясь к полюсу и не достигая его. Исключение составляют лишь случаи, когда K =0° и K = 180°.

     










    Рейтинг@Mail.ru